Espaços Métricos Completos
Definição. Um espaço métrico $(E,d)$ é completo se toda sequência de Cauchy em $E$ converge (para um limite em $E$).
Teorema. $\mathbb{R}$ com a métrica usual é completo.
Demonstração (esboço). Seja $(x_n)$ de Cauchy em $\mathbb{R}$. Então é limitada (por argumento análogo ao caso convergente). Pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, existe subsequência $x_{n_k}\to L$. Dado $\varepsilon>0$, existem $K,N$ tais que $|x_{n_k}-L|<\varepsilon/2$ para $k\ge K$ e $|x_m-x_n|<\varepsilon/2$ para $m,n\ge N$. Escolhendo $k$ com $k\ge K$ e $n_k\ge N$, para $n\ge N$:
$$|x_n - L| \le |x_n - x_{n_k}| + |x_{n_k} - L| < \varepsilon. \quad\square$$
Exemplo 4. $\mathbb{R}^n$ com a métrica euclidiana é completo (pois convergência em $\mathbb{R}^n$ equivale a convergência coordenada a coordenada, e cada coordenada está em $\mathbb{R}$).
Exemplo 5. $\mathbb{Q}$ não é completo: a sequência $x_n = \lfloor \sqrt{2}\cdot 10^n\rfloor / 10^n$ (truncamentos decimais de $\sqrt{2}$) é de Cauchy em $\mathbb{Q}$ mas não converge em $\mathbb{Q}$.
Exemplo 6. $(0,1)$ com a métrica usual não é completo: $x_n = 1/n$ é de Cauchy, mas $\lim x_n = 0 \notin (0,1)$.