Propriedades de Completude
Proposição. Um subconjunto fechado de um espaço métrico completo é completo (com a métrica induzida).
Demonstração. Seja $F\subseteq E$ fechado, $E$ completo, e $(x_n)$ de Cauchy em $F$. Então é de Cauchy em $E$, logo converge para algum $L\in E$. Como $F$ é fechado e $x_n\in F$ para todo $n$, temos $L\in F$. $\square$
Proposição. Um subespaço completo de um espaço métrico é fechado.
Demonstração. Seja $S\subseteq E$ completo. Se $x_n\in S$ e $x_n\to L\in E$, então $(x_n)$ é de Cauchy em $S$ (pois é convergente), logo converge em $S$. Pela unicidade do limite, $L\in S$. $\square$
Exemplo 7. $[0,1]$ é fechado em $\mathbb{R}$ (completo), logo é completo. $[0,1)$ não é fechado, logo não é completo.
Exemplo 8. O espaço $\ell^\infty$ das sequências limitadas com a métrica $d((a_n),(b_n)) = \sup_n|a_n-b_n|$ é completo.