Completamento
Todo espaço métrico pode ser "completado" — imerso isometricamente como subespaço denso de um espaço completo.
Exemplo 9. O completamento de $\mathbb{Q}$ é $\mathbb{R}$. Historicamente, uma das construções de $\mathbb{R}$ (devida a Cantor) define os números reais como classes de equivalência de sequências de Cauchy de racionais.
Teorema. Sejam $(x_n)$ de Cauchy e $(x_{n_k})$ uma subsequência convergente com $x_{n_k}\to L$. Então $x_n\to L$.
Demonstração. Dado $\varepsilon>0$, existe $N_1$ com $d(x_m,x_n)<\varepsilon/2$ para $m,n\ge N_1$ e $K$ com $d(x_{n_k},L)<\varepsilon/2$ para $k\ge K$. Tome $k\ge K$ com $n_k\ge N_1$. Para $n\ge N_1$:
$$d(x_n,L) \le d(x_n,x_{n_k})+d(x_{n_k},L) < \varepsilon/2+\varepsilon/2 = \varepsilon. \quad\square$$
Exemplo 10. Este resultado mostra que para provar convergência de uma sequência de Cauchy, basta encontrar uma subsequência convergente — estratégia usada frequentemente em análise.