Teorema de Heine-Borel
Teorema (Heine-Borel). Um subconjunto de $\mathbb{R}^n$ é compacto se e somente se é fechado e limitado.
Demonstração ($\Rightarrow$). Se $K$ é compacto, então $K$ é limitado (a cobertura ${B(0,n)}_{n\ge 1}$ admite subcobertura finita, logo $K\subseteq B(0,N)$ para algum $N$). $K$ é fechado: se $x\notin K$, para cada $y\in K$ existem abertos disjuntos separando $x$ de $y$; extraindo subcobertura finita, obtemos um aberto contendo $x$ disjunto de $K$.
Demonstração ($\Leftarrow$, esboço). $K$ fechado e limitado implica $K\subseteq [-M,M]^n$ para algum $M$. Prova-se que $[-M,M]^n$ é compacto (por bisseção e argumento de Cantor), e subconjunto fechado de compacto é compacto. $\square$
Exemplo 4. $[0,1]$ é compacto em $\mathbb{R}$ (fechado e limitado). $[0,\infty)$ não é compacto (não limitado). $(0,1)$ não é compacto (não fechado).
Exemplo 5. A esfera $S^{n-1} = {x\in\mathbb{R}^n : |x|=1}$ é compacta (fechada e limitada).
Exemplo 6. O disco fechado $\overline{B}((0,0),r) \subseteq \mathbb{R}^2$ é compacto para todo $r>0$.