Bolzano-Weierstrass e Pontos de Acumulação
Definição. Um ponto $p\in E$ é ponto de acumulação (ou ponto de aglomeração) de $S\subseteq E$ se toda bola $B(p,\varepsilon)$ contém algum ponto de $S$ diferente de $p$.
Teorema (Bolzano-Weierstrass). Todo subconjunto infinito de um conjunto compacto tem um ponto de acumulação (no compacto).
Demonstração. Seja $K$ compacto e $S\subseteq K$ infinito sem ponto de acumulação em $K$. Então para cada $p\in K$ existe $r_p>0$ com $B(p,r_p)\cap S \subseteq {p}$. A cobertura ${B(p,r_p)}{p\in K}$ admite subcobertura finita ${B(p_i,r{p_i})}{i=1}^n$. Logo $S\subseteq \bigcup{i=1}^n(B(p_i,r_{p_i})\cap S) \subseteq {p_1,\dots,p_n}$, contradizendo que $S$ é infinito. $\square$
Exemplo 7. A sequência $x_n = (-1)^n(1-1/n)$ em $[-1,1]$ (compacto) tem pontos de acumulação $1$ e $-1$.
Exemplo 8. A sequência $x_n = \sin(n)$ em $[-1,1]$ tem infinitos pontos de acumulação (de fato, o conjunto de pontos de acumulação é $[-1,1]$ inteiro).