Propriedade dos Conjuntos Encaixados
Teorema (Conjuntos encaixados). Seja $(K_n)$ uma sequência decrescente de compactos não vazios ($K_1\supseteq K_2\supseteq\cdots$). Então $\bigcap_{n=1}^\infty K_n \neq \emptyset$.
Demonstração. Se $\bigcap K_n = \emptyset$, então ${E\setminus K_n}$ é cobertura aberta de $K_1$ (pois $K_1 \setminus \bigcap K_n = K_1$). Por compacidade de $K_1$, existe subcobertura finita, logo $K_1\subseteq \bigcup_{i=1}^N(E\setminus K_{n_i}) = E\setminus K_{n_{\max}}$, contradizendo $K_{n_{\max}} \subseteq K_1$. $\square$
Exemplo 9. $K_n = [0, 1/n]$ em $\mathbb{R}$: $\bigcap K_n = {0} \neq \emptyset$. ✓
Exemplo 10. Sem compacidade, o resultado falha: $F_n = [n,+\infty)$ são fechados encaixados com $\bigcap F_n = \emptyset$.
Conjuntos Totalmente Limitados e Compacidade Sequencial
Definição. $S\subseteq E$ é totalmente limitado se, para todo $\varepsilon>0$, existem $x_1,\dots,x_n\in S$ com $S\subseteq\bigcup_{i=1}^n B(x_i,\varepsilon)$.
Definição. $S$ é sequencialmente compacto se toda sequência em $S$ admite subsequência convergente (com limite em $S$).
Teorema. Para um espaço métrico, as seguintes condições são equivalentes:
1. $K$ é compacto.
2. $K$ é sequencialmente compacto.
3. $K$ é completo e totalmente limitado.
Exemplo 11. $[0,1]$ é totalmente limitado: dado $\varepsilon>0$, tome $n>1/\varepsilon$ e $x_i = i/n$ para $i=0,\dots,n$.
Exemplo 12. $\mathbb{R}$ é completo mas não totalmente limitado, logo não é compacto.