Propriedades de Conjuntos Compactos
Proposição. Todo subconjunto compacto de um espaço métrico é fechado e limitado.
Proposição. Todo subconjunto fechado de um conjunto compacto é compacto.
Demonstração. Seja $F\subseteq K$ fechado, $K$ compacto. Dada cobertura aberta ${U_\alpha}$ de $F$, acrescente $E\setminus F$ (aberto). Obtemos cobertura de $K$, que admite subcobertura finita. Removendo $E\setminus F$ se presente, obtemos subcobertura finita de $F$. $\square$
Exemplo 13. O conjunto de Cantor $C\subseteq[0,1]$ é compacto (fechado em $[0,1]$, que é compacto).
Exemplo 14. ${1/n : n\ge 1}$ não é compacto (não é fechado, pois $0$ é ponto de acumulação mas não pertence ao conjunto). Porém ${0}\cup{1/n : n\ge 1}$ é compacto.