Conexidade, Interior, Fecho e Fronteira

Conjuntos Conexos

Definição. Um espaço métrico $(E,d)$ é conexo se os únicos subconjuntos de $E$ que são simultaneamente abertos e fechados são $\emptyset$ e $E$.

Equivalentemente, $E$ é conexo se não pode ser escrito como $E = U\cup V$ com $U,V$ abertos, não vazios e disjuntos (uma separação).

Definição. Um subconjunto $S\subseteq E$ é conexo se é conexo como subespaço métrico.

Exemplo 1. $\mathbb{R}\setminus{0} = (-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ não é conexo (ambas as partes são abertas no subespaço).

Exemplo 2. ${0,1}$ com a métrica usual não é conexo: ${0}$ e ${1}$ são abertos na métrica induzida.

Exemplo 3. Um único ponto ${p}$ é sempre conexo.