Subconjuntos Conexos de $\mathbb{R}$
Teorema. Os subconjuntos conexos de $\mathbb{R}$ são exatamente os intervalos (incluindo $\emptyset$, pontos, raios e $\mathbb{R}$).
Demonstração ($\Rightarrow$). Seja $S\subseteq\mathbb{R}$ conexo e suponha $a,b\in S$ com $a<b$. Se existisse $c\in(a,b)\setminus S$, então $S = (S\cap(-\infty,c))\cup(S\cap(c,+\infty))$ seria uma separação de $S$. Logo $(a,b)\subseteq S$, mostrando que $S$ é um intervalo.
Demonstração ($\Leftarrow$, esboço). Seja $I$ um intervalo e suponha $I = U\cup V$ separação. Sejam $a\in U$, $b\in V$ com $a<b$. Defina $c = \sup(U\cap[a,b])$. Mostra-se que $c\notin U$ e $c\notin V$, contradição. $\square$
Exemplo 4. $(0,1)$, $[0,1]$, $[0,+\infty)$ e $\mathbb{R}$ são conexos. $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ não são conexos.
Exemplo 5. ${1/n : n\ge 1}$ não é conexo: ${1}$ é aberto e fechado no subespaço.