Interior, Fecho e Fronteira
Definição. Seja $S\subseteq E$.
- O interior de $S$ é $\text{int}(S) = {x\in S : \exists\,r>0,\; B(x,r)\subseteq S}$. É o maior aberto contido em $S$.
- O fecho de $S$ é $\overline{S} = {x\in E : \forall\,r>0,\; B(x,r)\cap S \neq\emptyset}$. É o menor fechado contendo $S$.
- A fronteira de $S$ é $\partial S = \overline{S}\setminus\text{int}(S)$.
Exemplo 6. Em $\mathbb{R}$: $\text{int}([0,1)) = (0,1)$, $\overline{[0,1)} = [0,1]$, $\partial[0,1) = {0,1}$.
Exemplo 7. $\text{int}(\mathbb{Q}) = \emptyset$ (nenhum intervalo está contido em $\mathbb{Q}$). $\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$ (todo real é limite de racionais). $\partial\mathbb{Q} = \mathbb{R}$.
Exemplo 8. Em $\mathbb{R}^2$: para $S = {(x,y):x^2+y^2<1}$, temos $\text{int}(S)=S$, $\overline{S} = {(x,y):x^2+y^2\le 1}$, $\partial S = {(x,y):x^2+y^2=1}$.
Proposição. $\overline{S} = S \cup {\text{pontos de acumulação de }S}$. Em particular, $S$ é fechado se e somente se $S = \overline{S}$.
Proposição. $x\in\overline{S}$ se e somente se existe uma sequência $(x_n)$ em $S$ com $x_n\to x$.