Lim Sup e Lim Inf
Definição. Para uma sequência limitada $(x_n)$ em $\mathbb{R}$:
$$\limsup_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty}\left(\sup_{k\ge n} x_k\right) = \inf_{n\ge 1}\sup_{k\ge n} x_k,$$
$$\liminf_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty}\left(\inf_{k\ge n} x_k\right) = \sup_{n\ge 1}\inf_{k\ge n} x_k.$$
Proposição. $\liminf x_n \le \limsup x_n$, com igualdade se e somente se $(x_n)$ converge.
Exemplo 9. $x_n = (-1)^n$: $\limsup = 1$, $\liminf = -1$.
Exemplo 10. $x_n = (-1)^n/n$: $\limsup = 0 = \liminf$, logo $x_n\to 0$.
Exemplo 11. $x_n = \sin(n\pi/4)$: os valores são $\frac{\sqrt{2}}{2}, 1, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -1, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \dots$ Logo $\limsup = 1$ e $\liminf = -1$.