Espaços Vetoriais Normados
Definição. Uma norma em um espaço vetorial $V$ sobre $\mathbb{R}$ é uma função $|\cdot|\colon V\to\mathbb{R}$ tal que:
1. $|x|\ge 0$, com $|x|=0 \iff x=0$.
2. $|\alpha x| = |\alpha|\,|x|$ para $\alpha\in\mathbb{R}$.
3. $|x+y|\le|x|+|y|$ (desigualdade triangular).
Toda norma induz uma métrica: $d(x,y) = |x-y|$.
Exemplo 12. Em $\mathbb{R}^n$: $|x|2 = \sqrt{\sum x_i^2}$ (norma euclidiana), $|x|_1 = \sum|x_i|$ (norma $\ell^1$), $|x|\infty = \max|x_i|$ (norma do supremo).
Exemplo 13. $|(3,-4)|2 = 5$, $|(3,-4)|_1 = 7$, $|(3,-4)|\infty = 4$.
Proposição. Em $\mathbb{R}^n$, todas as normas são equivalentes: para quaisquer normas $|\cdot|_a$ e $|\cdot|_b$, existem $c,C>0$ com $c|x|_a \le |x|_b \le C|x|_a$ para todo $x$.
Consequência. Em $\mathbb{R}^n$, as noções de aberto, fechado, compacto, convergente, etc., são as mesmas para todas as normas.