Notação de Construção de Conjuntos
A notação de construção (set-builder notation) é:
$${x \in S : P(x)}$$
que denota o subconjunto de $S$ formado pelos elementos que satisfazem a propriedade $P$.
Exemplo 9. Os inteiros pares positivos: ${n \in \mathbb{N} : 2 \mid n} = {2, 4, 6, 8, \ldots}$.
Exemplo 10. O conjunto dos racionais no intervalo $[0,1]$: ${q \in \mathbb{Q} : 0 \leq q \leq 1}$.
Observação importante. A restrição a um conjunto "universo" $S$ é necessária para evitar paradoxos. O célebre paradoxo de Russell mostra que a "coleção de todos os conjuntos que não pertencem a si mesmos" não pode ser um conjunto. A exigência de que $x$ varie em um conjunto $S$ previamente dado evita tais contradições.
Resumo da lição:
- Um conjunto é determinado por seus elementos.
- $A \subset B$ significa que todo elemento de $A$ pertence a $B$.
- $A = B$ se e somente se $A \subset B$ e $B \subset A$ (dupla inclusão).
- O conjunto vazio $\emptyset$ é subconjunto de todo conjunto e é único.