O Conjunto Vazio
Definição. O conjunto vazio, denotado $\emptyset$ (ou ${}$), é o conjunto que não possui nenhum elemento. Formalmente:
$$\forall\, x,\; x \notin \emptyset.$$
Proposição. O conjunto vazio é subconjunto de todo conjunto. Isto é, para todo conjunto $A$, vale $\emptyset \subset A$.
Demonstração. Precisamos mostrar: $\forall\, x,\; x \in \emptyset \implies x \in A$. Ora, a hipótese $x \in \emptyset$ é sempre falsa, logo a implicação é vacuamente verdadeira. $\square$
Proposição. O conjunto vazio é único.
Demonstração. Suponha que $\emptyset_1$ e $\emptyset_2$ sejam conjuntos vazios. Pela proposição anterior, $\emptyset_1 \subset \emptyset_2$ e $\emptyset_2 \subset \emptyset_1$. Por dupla inclusão, $\emptyset_1 = \emptyset_2$. $\square$
Exemplo 7. ${x \in \mathbb{R} : x^2 + 1 = 0} = \emptyset$, pois $x^2 \geq 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$, logo $x^2 + 1 \geq 1 > 0$.
Exemplo 8. ${x \in \mathbb{R} : x > x} = \emptyset$, pois não existe número real estritamente maior que si mesmo.