Igualdade de Conjuntos
Definição. Dois conjuntos $A$ e $B$ são iguais, e escrevemos $A = B$, se e somente se $A \subset B$ e $B \subset A$. Ou seja:
$$A = B \iff (\forall\, x,\; x \in A \iff x \in B).$$
Este é o método da dupla inclusão (ou dupla contenção), fundamental em demonstrações de igualdade entre conjuntos.
Exemplo 5. Mostre que ${x \in \mathbb{Z} : 6 \mid x} = {x \in \mathbb{Z} : 2 \mid x \text{ e } 3 \mid x}$.
Solução. Seja $A = {x \in \mathbb{Z} : 6 \mid x}$ e $B = {x \in \mathbb{Z} : 2 \mid x \text{ e } 3 \mid x}$.
($A \subset B$): Se $x \in A$, então $x = 6k$ para algum $k \in \mathbb{Z}$. Logo $x = 2(3k)$, de modo que $2 \mid x$, e $x = 3(2k)$, de modo que $3 \mid x$. Portanto $x \in B$.
($B \subset A$): Se $x \in B$, então $2 \mid x$ e $3 \mid x$. Como $\mathrm{mdc}(2,3) = 1$, segue que $6 \mid x$, logo $x \in A$.
Portanto $A = B$. $\square$
Exemplo 6. O conjunto ${1, 2, 2, 3}$ é o mesmo que ${1, 2, 3}$, pois um conjunto é determinado apenas por quais elementos lhe pertencem, sem considerar repetição ou ordem.