Subconjuntos e Inclusão
Definição. Dizemos que $A$ é um subconjunto de $B$, e escrevemos $A \subset B$ (ou $A \subseteq B$), se todo elemento de $A$ é também elemento de $B$. Formalmente:
$$A \subset B \iff (\forall\, x,\; x \in A \implies x \in B).$$
Se $A \subset B$ e $A \neq B$, dizemos que $A$ é um subconjunto próprio de $B$.
Exemplo 3. $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$. Cada uma dessas inclusões é própria, pois por exemplo $0 \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ e $1/2 \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$.
Exemplo 4. Seja $A = {x \in \mathbb{R} : x^2 - 5x + 6 = 0} = {2, 3}$ e $B = {1, 2, 3, 4}$. Então $A \subset B$, pois $2 \in B$ e $3 \in B$.
Propriedade (Reflexividade). Para todo conjunto $A$, temos $A \subset A$.
Demonstração. Se $x \in A$, então $x \in A$. Logo $A \subset A$. $\square$
Propriedade (Transitividade). Se $A \subset B$ e $B \subset C$, então $A \subset C$.
Demonstração. Seja $x \in A$. Como $A \subset B$, temos $x \in B$. Como $B \subset C$, temos $x \in C$. Logo $A \subset C$. $\square$