Teorema de Heine
Teorema (Heine). Se $f\colon K\to F$ é contínua e $K$ é compacto, então $f$ é uniformemente contínua.
Demonstração. Suponha que $f$ não é uniformemente contínua. Então existe $\varepsilon_0>0$ e sequências $(x_n),(y_n)$ em $K$ com $d(x_n,y_n)<1/n$ mas $d(f(x_n),f(y_n))\ge\varepsilon_0$. Como $K$ é compacto, existe subsequência $x_{n_k}\to p\in K$. Então $y_{n_k}\to p$ também (pois $d(y_{n_k},p)\le d(y_{n_k},x_{n_k})+d(x_{n_k},p)\to 0$). Por continuidade, $f(x_{n_k})\to f(p)$ e $f(y_{n_k})\to f(p)$, logo $d(f(x_{n_k}),f(y_{n_k}))\to 0$, contradição. $\square$
Exemplo 4. $f(x)=\sqrt{x}$ em $[0,1]$ é uniformemente contínua (por Heine). De fato, em todo $[0,+\infty)$ é uniformemente contínua: $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|=\frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\le\sqrt{|x-y|}$, logo $\delta=\varepsilon^2$.
Exemplo 5. $f(x)=\sin(x)$ é uniformemente contínua em $\mathbb{R}$: $|\sin x-\sin y|=|2\cos(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2})|\le 2|\sin(\frac{x-y}{2})|\le|x-y|$. Tome $\delta=\varepsilon$.