Oscilação
Definição. Se $f\colon E\to\mathbb{R}$ e $S\subseteq E$, a oscilação de $f$ em $S$ é
$$\text{osc}(f,S) = \sup_{x,y\in S}|f(x)-f(y)| = \sup_S f - \inf_S f.$$
A oscilação de $f$ no ponto $p$ é
$$\text{osc}(f,p) = \inf_{r>0}\text{osc}(f,B(p,r)\cap\text{dom}(f)).$$
Proposição. $f$ é contínua em $p$ se e somente se $\text{osc}(f,p)=0$.
Exemplo 6. $f(x)=x^2$ em $p=1$: $\text{osc}(f,B(1,r))=\sup_{|x-1|<r}x^2-\inf_{|x-1|<r}x^2 = (1+r)^2-(1-r)^2 = 4r \to 0$ quando $r\to 0$. Logo $\text{osc}(f,1)=0$. ✓
Exemplo 7. Função de Dirichlet em qualquer $p$: $\text{osc}(f,B(p,r))=1$ para todo $r>0$ (pois toda bola contém racionais e irracionais). Logo $\text{osc}(f,p)=1\neq 0$, confirmando descontinuidade.
Exemplo 8. $f$ é uniformemente contínua se e somente se, para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que $\text{osc}(f,B(x,\delta))<\varepsilon$ para todo $x$.