Extensão Uniforme
Teorema. Se $f\colon S\to F$ é uniformemente contínua, $S$ denso em $E$, e $F$ completo, então $f$ se estende a uma única função contínua $\tilde{f}\colon E\to F$, que é também uniformemente contínua.
Demonstração (esboço). Para $p\in E$, existe $(x_n)\subseteq S$ com $x_n\to p$. Como $f$ é uniformemente contínua, $(f(x_n))$ é de Cauchy em $F$ (completo), logo converge. Define-se $\tilde{f}(p)=\lim f(x_n)$, independente da escolha da sequência. $\square$
Exemplo 9. $f(x)=\sin(x)/x$ em $(0,+\infty)$ pode ser estendida continuamente a $[0,+\infty)$ definindo $f(0)=1$.
Exemplo 10. A função $f\colon\mathbb{Q}\cap[0,1]\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ é uniformemente contínua e se estende a $g\colon[0,1]\to\mathbb{R}$, $g(x)=x^2$.
Exemplo 11. $f(x)=\sin(1/x)$ em $(0,1]$ não é uniformemente contínua, logo não se estende continuamente a $[0,1]$.