Sequências e Convergência

Sequências Convergentes

Definição. Seja $(E,d)$ um espaço métrico. Uma sequência em $E$ é uma função $x\colon \mathbb{N}\to E$, denotada $(x_n){n\ge 1}$. Dizemos que $(x_n)$ converge para $L \in E$ se, para todo $\varepsilon > 0$, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que
$$n \ge N \implies d(x_n, L) < \varepsilon.$$
Escrevemos $\lim{n\to\infty} x_n = L$ ou $x_n \to L$.

Teorema (Unicidade do limite). Se $x_n \to L$ e $x_n \to L'$, então $L = L'$.

Demonstração. Para todo $\varepsilon > 0$, existem $N_1, N_2$ tais que $d(x_n,L)<\varepsilon/2$ para $n\ge N_1$ e $d(x_n,L')<\varepsilon/2$ para $n\ge N_2$. Para $n\ge\max(N_1,N_2)$:
$$d(L,L') \le d(L,x_n)+d(x_n,L') < \varepsilon.$$
Como $\varepsilon>0$ é arbitrário, $d(L,L')=0$, logo $L=L'$. $\square$

Exemplo 1. $x_n = 1/n$ converge para $0$ em $\mathbb{R}$: dado $\varepsilon>0$, tome $N > 1/\varepsilon$. Para $n\ge N$, $|1/n - 0| = 1/n \le 1/N < \varepsilon$.

Exemplo 2. $x_n = (-1)^n/n$ converge para $0$: $|(-1)^n/n| = 1/n < \varepsilon$ para $n > 1/\varepsilon$.

Exemplo 3. $x_n = (-1)^n$ não converge em $\mathbb{R}$ (oscila entre $-1$ e $1$).