Propriedades de Sequências Convergentes
Proposição. Se $x_n\to L$ e $y_n \to M$ em $\mathbb{R}$, então:
1. $x_n + y_n \to L + M$.
2. $x_n \cdot y_n \to L \cdot M$.
3. Se $M\neq 0$, $x_n/y_n \to L/M$.
Exemplo 4. $x_n = 1 + 1/n \to 1$ e $y_n = 2 - 1/n^2 \to 2$. Logo $x_n y_n = (1+1/n)(2-1/n^2) \to 2$.
Exemplo 5. $x_n = (3n^2+n)/(n^2+1)$. Dividindo por $n^2$: $x_n = (3+1/n)/(1+1/n^2) \to 3/1 = 3$.
Proposição. Se $x_n \to L$ em $(E,d)$, então ${x_n : n\ge 1}$ é um subconjunto limitado de $E$.
Demonstração. Existe $N$ com $d(x_n,L)<1$ para $n\ge N$. Tome $M = \max(d(x_1,L),\dots,d(x_{N-1},L),1)$. Então $d(x_n,L)\le M$ para todo $n$. $\square$