Subsequências
Definição. Uma subsequência de $(x_n)$ é uma sequência $(x_{n_k})_{k\ge 1}$ onde $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$ é uma sequência estritamente crescente de índices.
Proposição. Se $x_n \to L$, então toda subsequência $(x_{n_k})$ também converge para $L$.
Demonstração. Dado $\varepsilon>0$, existe $N$ com $d(x_n,L)<\varepsilon$ para $n\ge N$. Como $n_k \ge k$, para $k\ge N$ temos $n_k\ge k \ge N$, logo $d(x_{n_k},L)<\varepsilon$. $\square$
Exemplo 6. De $x_n = 1/n$, a subsequência $x_{2k} = 1/(2k) \to 0$.
Exemplo 7. $x_n = (-1)^n$ não converge, mas a subsequência $x_{2k} = 1$ converge para $1$ e $x_{2k-1}=-1$ converge para $-1$.
Exemplo 8. De $x_n = \sin(n)$, podemos extrair subsequências convergentes (pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, pois a sequência é limitada).