Sequências Monótonas
Definição. Uma sequência $(x_n)$ em $\mathbb{R}$ é monótona crescente se $x_n \le x_{n+1}$ para todo $n$, e monótona decrescente se $x_n \ge x_{n+1}$ para todo $n$.
Teorema (Convergência Monótona). Toda sequência monótona e limitada em $\mathbb{R}$ é convergente.
Demonstração (caso crescente). Seja $L = \sup{x_n : n\ge 1}$ (existe pois o conjunto é limitado superiormente e não vazio). Dado $\varepsilon>0$, existe $N$ com $x_N > L-\varepsilon$ (senão $L-\varepsilon$ seria cota superior, contradição). Para $n\ge N$: $L-\varepsilon < x_N \le x_n \le L < L+\varepsilon$. Logo $|x_n - L| < \varepsilon$. $\square$
Exemplo 9. $x_n = 1 - 1/n$ é crescente e limitada ($x_n < 1$). Pelo teorema, converge; e $\lim x_n = \sup{1-1/n} = 1$.
Exemplo 10. $x_1 = 2$, $x_{n+1} = (x_n + 2/x_n)/2$ (método de Newton para $\sqrt{2}$). A sequência é decrescente (para $n\ge 2$) e limitada inferiormente por $\sqrt{2}$. Pelo teorema, converge para algum $L$ satisfazendo $L = (L+2/L)/2$, ou seja, $L^2 = 2$, logo $L = \sqrt{2}$.
Exemplo 11. $x_n = (1+1/n)^n$ é crescente e limitada por $3$ (pode-se provar usando a desigualdade AM-GM). Pelo teorema da convergência monótona, converge para $e = 2{,}71828\ldots$