Corpos Ordenados

Axiomas de Corpo

Definição. Um corpo é um conjunto $F$ munido de duas operações, adição ($+$) e multiplicação ($\cdot$), satisfazendo os seguintes axiomas. Para quaisquer $a, b, c \in F$:

(A1) $a + b = b + a$ (comutatividade da adição).
(A2) $(a + b) + c = a + (b + c)$ (associatividade da adição).
(A3) Existe $0 \in F$ tal que $a + 0 = a$ (elemento neutro da adição).
(A4) Para cada $a$, existe $-a \in F$ tal que $a + (-a) = 0$ (inverso aditivo).
(M1) $a \cdot b = b \cdot a$ (comutatividade da multiplicação).
(M2) $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ (associatividade da multiplicação).
(M3) Existe $1 \in F$, $1 \neq 0$, tal que $a \cdot 1 = a$ (elemento neutro da multiplicação).
(M4) Para cada $a \neq 0$, existe $a^{-1} \in F$ tal que $a \cdot a^{-1} = 1$ (inverso multiplicativo).
(D) $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ (distributividade).

Exemplo 1. $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ são corpos. $\mathbb{Z}$ não é corpo (falta M4: $2$ não tem inverso multiplicativo em $\mathbb{Z}$).

Exemplo 2. $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (inteiros módulo $p$, com $p$ primo) é um corpo finito.