Propriedades Básicas de Corpo
Proposição 1. Em qualquer corpo $F$:
1. O elemento neutro $0$ é único.
2. O inverso aditivo de cada elemento é único.
3. $0 \cdot a = 0$ para todo $a$.
4. $(-1) \cdot a = -a$ para todo $a$.
5. $(-a)(-b) = ab$ para quaisquer $a, b$.
Demonstração de (3). $0 \cdot a = (0 + 0) \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a$. Somando $-(0 \cdot a)$ a ambos os lados: $0 = 0 \cdot a$. $\square$
Demonstração de (4). $(-1) \cdot a + a = (-1) \cdot a + 1 \cdot a = (-1 + 1) \cdot a = 0 \cdot a = 0$. Logo $(-1) \cdot a$ é o inverso aditivo de $a$, ou seja, $(-1) \cdot a = -a$. $\square$
Demonstração de (5). $(-a)(-b) = [(-1)a][(-1)b] = (-1)(-1)ab$. Agora, $(-1)(-1) + (-1) = (-1)(-1 + 1) = (-1) \cdot 0 = 0$, logo $(-1)(-1) = 1$. Portanto $(-a)(-b) = ab$. $\square$
Proposição 2. Se $a \cdot b = 0$, então $a = 0$ ou $b = 0$.
Demonstração. Se $a \neq 0$, multiplicamos ambos os lados por $a^{-1}$: $b = 1 \cdot b = (a^{-1}a)b = a^{-1}(ab) = a^{-1} \cdot 0 = 0$. $\square$