Ordem
Definição. Um corpo ordenado é um corpo $F$ com um subconjunto $P \subset F$ (os elementos positivos) satisfazendo:
- (O1) Para todo $a \in F$, exatamente uma das três alternativas vale: $a \in P$, $a = 0$ ou $-a \in P$ (tricotomia).
- (O2) Se $a, b \in P$, então $a + b \in P$ (fechamento para adição).
- (O3) Se $a, b \in P$, então $a \cdot b \in P$ (fechamento para multiplicação).
Definimos: $a > 0$ sse $a \in P$; $a < 0$ sse $-a \in P$; $a > b$ sse $a - b > 0$; $a \geq b$ sse $a > b$ ou $a = b$.
Exemplo 3. $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ são corpos ordenados, com $P = {x : x > 0}$.
Proposição (Transitividade). Se $a > b$ e $b > c$, então $a > c$.
Demonstração. $a - c = (a - b) + (b - c)$. Como $a - b \in P$ e $b - c \in P$, por (O2) temos $a - c \in P$, ou seja, $a > c$. $\square$