Propriedades da Ordem
Proposição. Em um corpo ordenado:
1. $a > 0 \implies -a < 0$.
2. $a > b \implies a + c > b + c$ para todo $c$.
3. $a > b$ e $c > 0 \implies ac > bc$.
4. $a > b$ e $c < 0 \implies ac < bc$ (a desigualdade inverte).
5. $a^2 \geq 0$ para todo $a$. Em particular, $1 > 0$.
Demonstração de (5). Se $a = 0$, $a^2 = 0$. Se $a > 0$, então $a^2 = a \cdot a \in P$ por (O3). Se $a < 0$, então $-a > 0$, e $a^2 = (-a)(-a) \in P$ por (O3). Em todos os casos, $a^2 \geq 0$.
Para $1 > 0$: temos $1 = 1^2 \geq 0$, e $1 \neq 0$ (por M3), logo $1 > 0$. $\square$
Exemplo 4. Provemos que não existe $x \in \mathbb{R}$ com $x^2 = -1$. Se existisse, teríamos $x^2 \geq 0$, mas $-1 < 0$, contradição.