Os Naturais, Inteiros e Racionais dentro de $\mathbb{R}$
Dentro de qualquer corpo ordenado, identificamos:
- $\mathbb{N} = {1, 1+1, 1+1+1, \ldots}$ (onde $2 := 1+1$, $3 := 1+1+1$, etc.).
- $\mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup {0} \cup {-n : n \in \mathbb{N}}$.
- $\mathbb{Q} = {m/n : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}}$.
Expoentes. Para $a \neq 0$ e $n \in \mathbb{N}$: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n}$, $a^0 = 1$, $a^{-n} = (a^{-1})^n$.
Propriedades dos expoentes: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, $\; (a^m)^n = a^{mn}$, $\; (ab)^n = a^n b^n$.
Exemplo 5. $2^3 = 8$, $2^{-2} = 1/4$, $(3 \cdot 2)^2 = 6^2 = 36 = 9 \cdot 4 = 3^2 \cdot 2^2$.
Exemplo 6. Prove que $n < 2^n$ para todo $n \in \mathbb{N}$ (por indução).
Demonstração. Base: $1 < 2^1 = 2$. ✓
Passo indutivo: suponha $k < 2^k$. Então $k + 1 < 2^k + 1 \leq 2^k + 2^k = 2^{k+1}$ (usamos $1 \leq 2^k$, que vale pois $k \geq 1$). $\square$
Resumo da lição:
- Um corpo satisfaz axiomas de adição, multiplicação e distributividade.
- Um corpo ordenado possui um conjunto de positivos $P$ com tricotomia e fechamento.
- Resultados fundamentais: $0 \cdot a = 0$, $(-1)a = -a$, $a^2 \geq 0$, $1 > 0$.