Conjugado e Módulo
Definição. Para $z = a + bi$:
- O conjugado é $\bar{z} = a - bi$.
- O módulo é $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Propriedades:
1. $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$.
2. $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$ e $\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$.
3. $|zw| = |z| \cdot |w|$.
4. $|z + w| \leq |z| + |w|$ (desigualdade triangular em $\mathbb{C}$).
Exemplo 7. $z = 3 + 4i$: $\bar{z} = 3 - 4i$, $|z| = \sqrt{9 + 16} = 5$.
$\mathbb{C}$ não é um corpo ordenado. Não existe uma ordem em $\mathbb{C}$ compatível com as operações de corpo. De fato, se existisse, teríamos $i^2 = -1 < 0$, mas pela propriedade $a^2 \geq 0$ (válida em todo corpo ordenado), deveríamos ter $i^2 \geq 0$, contradição.
Exemplo 8. Embora $\mathbb{C}$ não seja ordenado, a função módulo $|\cdot|: \mathbb{C} \to [0, +\infty)$ fornece uma noção de "tamanho" que satisfaz as propriedades essenciais para análise.
Resumo da lição:
- Todo real tem expansão decimal (finita ou infinita); racionais $\leftrightarrow$ decimais periódicos.
- O axioma da completude garante a existência de $\sqrt{2}$.
- $\mathbb{C} = {a + bi : a, b \in \mathbb{R}}$ é um corpo com $i^2 = -1$.
- $\mathbb{C}$ não admite ordem compatível com a estrutura de corpo.