Os Números Complexos
Definição. O conjunto dos números complexos é $\mathbb{C} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} = {(a, b) : a, b \in \mathbb{R}}$, munido das operações:
- Adição: $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$.
- Multiplicação: $(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$.
Notação. Identificamos $(a, 0)$ com $a \in \mathbb{R}$ e denotamos $(0, 1) = i$. Então $(a, b) = a + bi$.
A regra de multiplicação provém de $i^2 = (0,1)(0,1) = (-1, 0) = -1$.
Proposição. $(\mathbb{C}, +, \cdot)$ é um corpo.
Os elementos neutros são $0 = (0,0)$ e $1 = (1,0)$. O inverso de $z = a + bi \neq 0$ é:
$$z^{-1} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = \left(\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2}\right).$$
Exemplo 5. $(2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$.
Exemplo 6. $(1 + i)^{-1} = \frac{1 - i}{1^2 + 1^2} = \frac{1-i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.