Existência de $\sqrt{2}$
Teorema. Existe um único $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha > 0$, tal que $\alpha^2 = 2$.
Demonstração. Existência: Seja $S = {x \in \mathbb{R} : x \geq 0 \text{ e } x^2 \leq 2}$. Então $S \neq \emptyset$ (pois $1 \in S$) e $S$ é limitado superiormente (por exemplo, por $2$, pois se $x > 2$ então $x^2 > 4 > 2$).
Pelo axioma da completude, existe $\alpha = \sup S$. Mostraremos que $\alpha^2 = 2$ descartando os casos $\alpha^2 < 2$ e $\alpha^2 > 2$.
Caso $\alpha^2 < 2$: Queremos encontrar $\varepsilon > 0$ pequeno tal que $(\alpha + \varepsilon)^2 < 2$, contradizendo $\alpha = \sup S$.
$(\alpha + \varepsilon)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\varepsilon + \varepsilon^2 \leq \alpha^2 + 2\alpha\varepsilon + \varepsilon = \alpha^2 + \varepsilon(2\alpha + 1)$
(usando $\varepsilon^2 \leq \varepsilon$ para $\varepsilon \leq 1$). Basta escolher $\varepsilon < \frac{2 - \alpha^2}{2\alpha + 1}$, e então $(\alpha + \varepsilon)^2 < 2$, logo $\alpha + \varepsilon \in S$, contradizendo $\alpha = \sup S$.
Caso $\alpha^2 > 2$: Queremos encontrar $\varepsilon > 0$ tal que $(\alpha - \varepsilon)^2 > 2$, contradizendo $\alpha = \sup S$ (pois $\alpha - \varepsilon$ seria cota superior de $S$ menor que $\alpha$).
$(\alpha - \varepsilon)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\varepsilon + \varepsilon^2 \geq \alpha^2 - 2\alpha\varepsilon$.
Basta $\varepsilon < \frac{\alpha^2 - 2}{2\alpha}$, e então $(\alpha - \varepsilon)^2 > 2$. Se $x \in S$, $x^2 \leq 2 < (\alpha - \varepsilon)^2$, logo $x < \alpha - \varepsilon$ (pois ambos positivos). Assim $\alpha - \varepsilon$ é cota superior de $S$, contradição.
Logo $\alpha^2 = 2$.
Unicidade: Se $\alpha, \beta > 0$ com $\alpha^2 = \beta^2 = 2$, então $(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) = 0$. Como $\alpha + \beta > 0$, temos $\alpha = \beta$. $\square$