Decimais Infinitos e Completude
Definição. Um decimal infinito é uma expressão $a_0{,}a_1 a_2 a_3 \cdots$ que representa o número real:
$$\sup{a_0{,}a_1 a_2 \cdots a_n : n \in \mathbb{N}}.$$
A existência deste supremo é garantida pelo axioma da completude.
Exemplo 3. $0{,}333\ldots = \sup{0{,}3;\; 0{,}33;\; 0{,}333;\; \ldots} = 1/3$.
Para verificar: as somas parciais são $S_n = \sum_{k=1}^{n} 3/10^k = 3 \cdot \frac{1/10 - 1/10^{n+1}}{1 - 1/10} = \frac{1}{3}(1 - 10^{-n})$. Logo $\sup{S_n} = 1/3$.
Decimais periódicos. Um decimal é periódico se a partir de certa posição os dígitos se repetem ciclicamente. Todo decimal periódico representa um número racional, e reciprocamente, todo racional tem expansão decimal finita ou periódica.
Exemplo 4. $0{,}142857142857\ldots = 1/7$ (período $142857$).