Continuidade: Definição e Exemplos

Definição ε-δ

Definição. Sejam $(E,d_E)$ e $(F,d_F)$ espaços métricos. Uma função $f\colon E\to F$ é contínua em $p\in E$ se, para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que
$$d_E(x,p)<\delta \implies d_F(f(x),f(p))<\varepsilon.$$
$f$ é contínua se é contínua em todo ponto de $E$.

Equivalentemente: $f$ é contínua em $p$ se $f^{-1}(B(f(p),\varepsilon)) \supseteq B(p,\delta)$ para algum $\delta$.

Exemplo 1. A função constante $f(x)=c$ é contínua: $d_F(f(x),f(p))=d_F(c,c)=0<\varepsilon$ para qualquer $\delta$.

Exemplo 2. A função identidade $f(x)=x$ de $(E,d)$ em $(E,d)$ é contínua: tome $\delta=\varepsilon$.

Exemplo 3. $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3x+1$. Dado $\varepsilon>0$, $|f(x)-f(p)|=3|x-p|<\varepsilon$ se $|x-p|<\delta=\varepsilon/3$.