Caracterização Sequencial
Teorema. $f\colon E\to F$ é contínua em $p$ se e somente se, para toda sequência $(x_n)$ em $E$ com $x_n\to p$, temos $f(x_n)\to f(p)$.
Demonstração ($\Rightarrow$). Dado $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ com $d(x,p)<\delta\implies d(f(x),f(p))<\varepsilon$. Como $x_n\to p$, existe $N$ com $d(x_n,p)<\delta$ para $n\ge N$. Logo $d(f(x_n),f(p))<\varepsilon$ para $n\ge N$.
Demonstração ($\Leftarrow$, contrapositiva). Se $f$ não é contínua em $p$, existe $\varepsilon_0>0$ tal que para todo $n$ existe $x_n$ com $d(x_n,p)<1/n$ mas $d(f(x_n),f(p))\ge\varepsilon_0$. Então $x_n\to p$ mas $f(x_n)\not\to f(p)$. $\square$
Exemplo 4. $f(x)=x^2$ é contínua em $p$: se $x_n\to p$, então $x_n^2\to p^2$ (pela álgebra de limites de sequências).
Exemplo 5. Prova direta com ε-δ para $f(x)=x^2$ em $p$: $|x^2-p^2|=|x-p||x+p|$. Se $|x-p|<1$, então $|x|<|p|+1$, logo $|x+p|<2|p|+1$. Tome $\delta=\min(1, \varepsilon/(2|p|+1))$.