Exemplos Importantes
Exemplo 6 (Função de Dirichlet). $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por
$$f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\0,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$$
não é contínua em nenhum ponto. Para qualquer $p$, toda bola $B(p,\delta)$ contém racionais e irracionais, logo existem sequências $x_n\to p$ com $f(x_n)=1$ e $y_n\to p$ com $f(y_n)=0$.
Exemplo 7. $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=0$ se $x\neq 0$ e $f(0)=1$. Esta função é contínua em todo $p\neq 0$ e descontínua em $0$ (pois $\lim_{x\to 0}f(x)=0\neq 1=f(0)$).
Exemplo 8. $f(x)=|x|$ é contínua: $||x|-|p|| \le |x-p|$ (desigualdade triangular inversa), logo $\delta=\varepsilon$ funciona.
Exemplo 9 (Caracterização topológica). $f\colon E\to F$ é contínua se e somente se $f^{-1}(V)$ é aberto em $E$ para todo aberto $V\subseteq F$.
Demonstração ($\Rightarrow$). Seja $V$ aberto em $F$ e $p\in f^{-1}(V)$. Então $f(p)\in V$, logo existe $\varepsilon>0$ com $B(f(p),\varepsilon)\subseteq V$. Por continuidade, existe $\delta>0$ com $f(B(p,\delta))\subseteq B(f(p),\varepsilon)\subseteq V$, logo $B(p,\delta)\subseteq f^{-1}(V)$. $\square$