Funções Degrau
Definição. Uma função degrau (ou função escada) em $[a,b]$ é uma função $f$ para a qual existe uma partição $a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$ tal que $f$ é constante em cada intervalo aberto $(t_{i-1},t_i)$.
Exemplo 10. A função sinal $\text{sgn}(x)$ é uma função degrau em $[-1,1]$:
$$\text{sgn}(x) = \begin{cases}-1,& x<0\ 0,& x=0\ 1,& x>0\end{cases}$$
É contínua em $\mathbb{R}\setminus{0}$ e descontínua em $0$.
Exemplo 11. A função piso $\lfloor x\rfloor$ é contínua em $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}$ e descontínua em cada inteiro.
Exemplo 12. $f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, $f(x,y)=x+y$ é contínua: $|f(x,y)-f(p,q)|=|(x-p)+(y-q)|\le|x-p|+|y-q|\le 2d((x,y),(p,q))$ (onde $d$ é a métrica euclidiana, usando $|x-p|\le d$). Tome $\delta=\varepsilon/2$.