Derivada de $x^n$ para $n$ inteiro positivo
Proposição. Para $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 1$, se $f(x) = x^n$ então $f'(x) = nx^{n-1}$.
Demonstração. Usamos a fatoração $x^n - a^n = (x - a)(x^{n-1} + x^{n-2}a + \cdots + a^{n-1})$:
$$\frac{x^n - a^n}{x - a} = x^{n-1} + x^{n-2}a + \cdots + a^{n-1}.$$
Quando $x \to a$, cada parcela converge para $a^{n-1}$ e há $n$ parcelas, logo:
$$f'(a) = na^{n-1}. \qquad \blacksquare$$
Exemplo 7. $f(x) = x^5 \implies f'(x) = 5x^4$. Em $x = 2$: $f'(2) = 5 \cdot 16 = 80$.
Exemplo 8. $f(x) = x^{10} \implies f'(1) = 10 \cdot 1^9 = 10$.