Exemplo clássico: $|x|$ não é diferenciável em $0$
Considere $f(x) = |x|$. Essa função é contínua em $x = 0$, mas vejamos o quociente:
$$\frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \frac{|h|}{h} = \begin{cases} 1 & \text{se } h > 0, \ -1 & \text{se } h < 0. \end{cases}$$
Como os limites laterais diferem ($1 \neq -1$), o limite não existe e $f$ não é diferenciável em $0$.
Exemplo 6. Seja $f(x) = x|x|$. No ponto $a = 0$:
$$\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{h|h|}{h} = |h| \to 0.$$
Portanto $f'(0) = 0$. Note que $f$ é diferenciável em $0$ apesar de envolver $|x|$.