Diferenciabilidade implica continuidade
Teorema. Se $f$ é diferenciável em $a$, então $f$ é contínua em $a$.
Demonstração. Precisamos mostrar que $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$, ou seja, $\lim_{x \to a}[f(x) - f(a)] = 0$. Escrevemos:
$$f(x) - f(a) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot (x - a).$$
Como $f$ é diferenciável em $a$, o primeiro fator converge para $f'(a)$ quando $x \to a$, e o segundo fator converge para $0$. Pelo produto de limites:
$$\lim_{x \to a}[f(x) - f(a)] = f'(a) \cdot 0 = 0. \qquad \blacksquare$$
Observação importante. A recíproca é falsa: continuidade não implica diferenciabilidade.