Funções lineares e a interpretação de tangente
Uma função linear é da forma $L(x) = mx + b$. Para tal função:
$$\frac{L(a+h) - L(a)}{h} = \frac{m(a+h)+b - ma - b}{h} = m.$$
Portanto $L'(a) = m$ para todo $a$. A derivada de uma função linear é exatamente a sua inclinação.
Reta tangente. Se $f$ é diferenciável em $a$, a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(a, f(a))$ é
$$y = f(a) + f'(a)(x - a).$$
Exemplo 4. Para $f(x) = x^2$ no ponto $a = 3$, temos $f'(3) = 6$, logo a tangente é $y = 9 + 6(x-3) = 6x - 9$.
Exemplo 5. Para $f(x) = x^3$:
$$\frac{(a+h)^3 - a^3}{h} = \frac{3a^2 h + 3ah^2 + h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2.$$
Logo $f'(a) = 3a^2$.