Definição formal
Definição. Sejam $E \subset \mathbb{R}$ um conjunto aberto, $f: E \to \mathbb{R}$ e $a \in E$. Dizemos que $f$ é diferenciável (ou derivável) em $a$ se existe o limite
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.$$
O número real $f'(a)$ chama-se derivada de $f$ em $a$.
Equivalentemente, escrevendo $x = a + h$:
$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.$$
Exemplo 1. Seja $f(x) = c$ (constante). Então
$$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{c - c}{h} = 0 \implies f'(a) = 0.$$
Exemplo 2. Seja $f(x) = x$. Então
$$\frac{(a+h) - a}{h} = 1 \implies f'(a) = 1.$$
Exemplo 3. Seja $f(x) = x^2$. Então
$$\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \to 2a.$$
Logo $f'(a) = 2a$.