Espaços Métricos: Definição e Exemplos
Nesta lição introduzimos a noção fundamental de espaço métrico, que generaliza a ideia de distância do espaço euclidiano para conjuntos arbitrários.
Definição de Métrica
Definição. Seja $E$ um conjunto não vazio. Uma métrica (ou distância) em $E$ é uma função $d\colon E \times E \to \mathbb{R}$ satisfazendo, para todos $x, y, z \in E$:
- Positividade: $d(x,y) \ge 0$, com $d(x,y) = 0$ se e somente se $x = y$.
- Simetria: $d(x,y) = d(y,x)$.
- Desigualdade triangular: $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$.
O par $(E,d)$ é chamado espaço métrico.
Exemplo 1. Em $\mathbb{R}$, defina $d(x,y) = |x - y|$. Verificação:
- $|x - y| \ge 0$ e $|x-y|=0 \iff x=y$. ✓
- $|x-y| = |y-x|$. ✓
- $|x-z| = |x-y+y-z| \le |x-y|+|y-z|$. ✓
Exemplo 2. A métrica discreta em qualquer conjunto $E$:
$$d(x,y) = \begin{cases} 0, & x = y \ 1, & x \neq y \end{cases}$$
Os três axiomas são imediatamente verificados. Em particular, a desigualdade triangular vale pois o lado direito é no máximo $2$ e o lado esquerdo é no máximo $1$.
Exemplo 3. Em $\mathbb{R}^2$, a métrica do taxista (ou $\ell^1$):
$$d_1((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|.$$
Por exemplo, $d_1((1,3),(4,1)) = |1-4|+|3-1| = 3+2 = 5$.