O Espaço Euclidiano $\mathbb{R}^n$
Definição. Para $x = (x_1,\dots,x_n), y = (y_1,\dots,y_n) \in \mathbb{R}^n$, a métrica euclidiana é
$$d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.$$
Para verificar a desigualdade triangular, precisamos da desigualdade de Schwarz.
Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz). Para $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n \in \mathbb{R}$,
$$\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right).$$
Demonstração. Para todo $t \in \mathbb{R}$, temos
$$0 \le \sum_{i=1}^n (a_i + t b_i)^2 = \sum a_i^2 + 2t\sum a_i b_i + t^2 \sum b_i^2.$$
Este é um polinômio de grau $\le 2$ em $t$ que é $\ge 0$ para todo $t$. Logo seu discriminante é $\le 0$:
$$4\left(\sum a_i b_i\right)^2 - 4\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right) \le 0. \qquad \square$$
Exemplo 4. Para $a=(1,2,3)$ e $b=(4,5,6)$:
- $\sum a_i b_i = 4+10+18 = 32$.
- $\sum a_i^2 = 14$, $\sum b_i^2 = 77$.
- $32^2 = 1024 \le 14 \cdot 77 = 1078$. ✓
Exemplo 5. Distância euclidiana em $\mathbb{R}^3$: $d((1,0,2),(3,1,4)) = \sqrt{4+1+4} = 3$.