Desigualdade Triangular em $\mathbb{R}^n$
Teorema (Desigualdade de Minkowski). Para $x,y,z \in \mathbb{R}^n$,
$$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z).$$
Demonstração. Sejam $a_i = x_i - y_i$ e $b_i = y_i - z_i$. Então $x_i - z_i = a_i + b_i$ e
$$d(x,z)^2 = \sum(a_i+b_i)^2 = \sum a_i^2 + 2\sum a_i b_i + \sum b_i^2.$$
Por Cauchy-Schwarz, $\sum a_i b_i \le \sqrt{\sum a_i^2}\sqrt{\sum b_i^2}$, logo
$$d(x,z)^2 \le \left(\sqrt{\sum a_i^2} + \sqrt{\sum b_i^2}\right)^2 = (d(x,y)+d(y,z))^2.$$
Extraindo raízes, obtemos o resultado. $\square$
Exemplo 6. Em $\mathbb{R}^2$, para $x=(0,0)$, $y=(3,0)$, $z=(3,4)$:
- $d(x,z) = \sqrt{9+16} = 5$
- $d(x,y)+d(y,z) = 3+4 = 7 \ge 5$. ✓