Subespaços Métricos
Definição. Se $(E,d)$ é um espaço métrico e $S \subseteq E$ é não vazio, então $(S, d|_{S \times S})$ é um subespaço métrico de $(E,d)$.
Ou seja, a restrição de uma métrica a um subconjunto é automaticamente uma métrica.
Exemplo 7. $\mathbb{Q}$ com a métrica $d(x,y)=|x-y|$ herdada de $\mathbb{R}$ é um subespaço métrico de $\mathbb{R}$.
Exemplo 8. O círculo $S^1 = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=1}$ com a métrica euclidiana herdada de $\mathbb{R}^2$ é um subespaço métrico.
Exemplo 9. O intervalo $[0,1]$ com a métrica usual é um subespaço de $\mathbb{R}$. A distância $d(0.3, 0.7) = 0.4$ é a mesma calculada em $\mathbb{R}$ ou em $[0,1]$.
Observação. Todo subespaço de um espaço métrico é automaticamente um espaço métrico — os axiomas da métrica são herdados sem necessidade de verificação adicional.