Derivadas Parciais e Diferenciabilidade
Neste módulo estudamos a noção de derivada parcial para funções de várias variáveis reais,
a definição rigorosa de diferenciabilidade total e sua relação com continuidade e existência
de derivadas parciais.
Derivada Parcial
Definição. Seja $U \subset \mathbb{R}^n$ aberto e $f: U \to \mathbb{R}$. A derivada parcial
de $f$ em relação à $i$-ésima variável no ponto $a = (a_1, \dots, a_n) \in U$ é
$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_i + h, \dots, a_n) - f(a)}{h},$$
quando tal limite existe.
Exemplo 1. Seja $f(x,y) = x^2 y + 3xy^3$. Então
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2xy + 3y^3, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^2 + 9xy^2.$$
No ponto $(1,2)$: $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) = 4 + 24 = 28$ e $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2) = 1 + 36 = 37$.
Exemplo 2. Para $g(x,y) = e^{xy}\sin(x)$, temos
$$\frac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy}\sin(x) + e^{xy}\cos(x), \qquad \frac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy}\sin(x).$$