Diferenciabilidade Total
Definição. Dizemos que $f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ é diferenciável no ponto $a \in U$
se existe uma transformação linear $L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ tal que
$$\lim_{h \to 0} \frac{|f(a+h) - f(a) - L(h)|}{|h|} = 0.$$
A transformação $L$ é chamada de derivada total ou diferencial de $f$ em $a$, denotada $Df(a)$ ou $df_a$.
Proposição. Se $f$ é diferenciável em $a$, então $L$ é única e sua representação matricial
em relação às bases canônicas é a matriz jacobiana
$$Jf(a) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \ \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(a) \end{pmatrix}.$$
Exemplo 3. Para $f(x,y) = (x^2+y^2,\; xy)$, a jacobiana é
$$Jf(x,y) = \begin{pmatrix} 2x & 2y \ y & x \end{pmatrix}.$$
Em $(1,1)$: $Jf(1,1) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$, com $\det Jf(1,1) = 0$.