Diferenciável implica Contínua
Teorema. Se $f: U \to \mathbb{R}^m$ é diferenciável em $a$, então $f$ é contínua em $a$.
Demonstração. Como $f$ é diferenciável em $a$, dado $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que,
para $|h| < \delta$,
$$|f(a+h) - f(a) - L(h)| < \varepsilon |h|.$$
Usando $|L(h)| \leq |L||h|$, temos
$$|f(a+h) - f(a)| \leq (|L| + \varepsilon)|h| \to 0 \text{ quando } h \to 0. \qquad \square$$
Exemplo 4 (parciais existem mas $f$ não é diferenciável). Defina $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ por
$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0), \ 0, & (x,y) = (0,0). \end{cases}$$
As parciais em $(0,0)$ existem e valem zero, mas $f$ não é contínua em $(0,0)$
(considere $y = x$: $f(x,x) = 1/2 \neq 0$), logo não é diferenciável.