Continuamente Diferenciável ($C^1$) implica Diferenciável
Teorema. Seja $f: U \to \mathbb{R}^m$ com $U \subset \mathbb{R}^n$ aberto. Se todas as
derivadas parciais $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ existem e são contínuas em $U$,
então $f$ é diferenciável em cada ponto de $U$.
Demonstração (caso $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$). Escrevemos
$$f(a+h) - f(a) = [f(a_1+h_1,a_2+h_2) - f(a_1,a_2+h_2)] + [f(a_1,a_2+h_2) - f(a_1,a_2)].$$
Pelo TVM unidimensional, existem $\theta_1, \theta_2 \in (0,1)$ tais que
$$= \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1 + \theta_1 h_1,\, a_2+h_2)\, h_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,\, a_2+\theta_2 h_2)\, h_2.$$
Pela continuidade das parciais, cada termo difere de $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) h_i$
por $o(|h|)$. Logo
$$f(a+h) - f(a) = \nabla f(a) \cdot h + o(|h|). \qquad \square$$
Exemplo 5. $f(x,y) = e^{x+y^2}$ tem $\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x+y^2}$ e
$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y\, e^{x+y^2}$, ambas contínuas. Logo $f \in C^1(\mathbb{R}^2)$
e é diferenciável em todo ponto.