A Derivada como Transformação Linear
Reiteramos que a derivada $Df(a)$ é uma transformação linear, não uma matriz.
A matriz jacobiana é sua representação nas bases canônicas.
Proposição (Unicidade). Se $L_1, L_2$ são lineares e ambas satisfazem a definição
de diferenciabilidade para $f$ em $a$, então $L_1 = L_2$.
Demonstração. Para todo $v \in \mathbb{R}^n$ e $t > 0$, tomando $h = tv$:
$$\frac{|(L_1 - L_2)(tv)|}{t|v|} \leq \frac{|f(a+tv)-f(a)-L_1(tv)|}{t|v|} + \frac{|f(a+tv)-f(a)-L_2(tv)|}{t|v|} \to 0.$$
Logo $(L_1 - L_2)(v) = 0$ para todo $v$. $\square$
Exemplo 6. Para $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$, $f(x,y,z) = (xz,\; y^2+z)$, a jacobiana é
$$Jf = \begin{pmatrix} z & 0 & x \ 0 & 2y & 1 \end{pmatrix}.$$
Em $(1,2,3)$: $Jf(1,2,3) = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix}$.